Semaine 12

Soit \(G\) un groupe d'éléments neutre \(e\), \(a\) et \(b\) deux éléments de \(G\). Montrer l'équivalence, \[\exists n \geqslant 1,\ (ab)^n = e \Leftrightarrow \exists n \geqslant 1,\ (ba)^n = e\]

On définit \(f\) par \[f \colon \begin{cases} G \to G \\ x \mapsto x^2\end{cases}\] Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(f\) soit un morphisme de groupes.

Montre que le centre de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) est un anneau commutatif isomorphe à \(\mathbb{K}\).

Soit \(p\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). On considère dans \(\mathbb{Z}\) la relation \(\mathcal{R}\) suivante, \[ x\mathcal{R} y \Leftrightarrow \exists\ k \in \mathbb{Z},\, x - y = kp \]

1. Montrer que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence.
2. On note \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation \(\mathcal{R}\). Quelle est classe de \(0\) ? de \(p\) ? de \(k\) ?
3. On définit deux lois internes pour \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), en notant \(\overline{x}\) la classe d'équivalence de \(x\). \(\overline{a} + \overline{b} = \overline{a+b}\), \(\overline{a} \times \overline{b} = \overline{ab}\). Montrer que les deux lois sont bien définies, autrement dit que pour \(x \mathcal{R} y\) et \(x' \mathcal{R} y'\), \(\overline{x}+\overline{y} = \overline{x'}+\overline{y'}\) et \(\overline{x}\times\overline{y} = \overline{x'}\times\overline{y'}\).
4. Montrer que \(\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +, \times\right)\) est un anneau.
5. Rappeler le théorème de Bezout.
6. Montrer que \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si, \(p\) est premier.

Soit \(G\) des matrices de la forme, \[ M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -x^2 & 1 & x \\ -2x & 0 & 1 \end{pmatrix} \] où \(x \in \mathbb{R}\).

1. Montrer que \(G\) est un groupe pour la multiplication.
2. Montrer que \(G\) est isomorphe à \(\left(\mathbb{R},+\right)\).
3. Que se passe-t-il quand on choisit maintenant \(x \in \mathbb{Z}\) ?
4. En déduire les sous-groupes de \(G\) dans ce cas.

Soit \(A\) un anneau commutatif. Pour \(a\) et \(b\) dans \(A\), on dit que \(b\) divise \(a\), si et seulement si il existe \(c \in A\), \(a = bc\).

1. Montrer que \(c\) est unique si \(a \neq 0\) et \(b\) intègre.
2. Montrer que si \(a\) divise \(b\) et \(b\) divise \(a\), alors \(a = bu\), avec \(u\) un élément inversible de \(A\).

Soit \(\pi \in A\). On dit que \(\pi\) est irréductible si, pour tout \(a,b \in A\), tels que \(\pi = ab\), on a \(a\) ou \(b\) inversible. On dit que \(\pi\) est premier si, pour tout \(a,b \in A\), \[\pi | ab \Rightarrow \pi | a \text{ ou } \pi | b\]

1. Montrer qu'un élément premier est irréductible.

On introduit maintenant un anneau particulier pour établir un contre-exemple à la réciproque. Soit \[\mathbb{Z}[i\sqrt{3}] = \{a + i\sqrt{3},\, a,b \in \mathbb{Z}\}\]

1. Montrer que \(\mathbb{Z}[i\sqrt{3}]\) est un anneau.
2. Montrer que \(2\) ne divise pas \(1 \pm i\sqrt{3}\).
3. Calculer \((1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})\), conclure quant à la primalité de

1. Montrer que \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\) est un sous-groupe additif.
2. En utilisant une caractérisation des sous-groupes additifs de \(\mathbb{Z}\), en déduire une expression de \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\).

Soit \(f\) un morphisme d'anneaux de \(\mathbb{R}\), dans \(\mathbb{R}\).

1. Rappeler les propriétés vérifiées par \(f\).
2. Montrer que pour tout \(x\) positif, \(f(x)\) est positif.
3. Montrer que \(f\) est croissante.
4. Montrer que \(f\) est l'identitée sur les entiers.
5. Montrer que \(f\) est l'identitée sur les rationnels.
6. Montrer que \(f\) est l'identitée.
7. Donner deux morphismes d'anneaux sur \(\mathbb{C}\).

Soit \(K\) un corps fini d'éléments \(x_1,\dots,x_n\). On souhaite montrer le théorème suivant, \[\prod_{i=1}^n x_i = -1\]

1. Rappeler la définition d'un corps.
2. Soit \(\mathcal{R}\) la relation suivante, \(x \mathcal{R} y \Leftrightarrow x = y^{-1}\). Montrer que \(\mathcal{R}\) est une relation d'équivalence.
3. Soit \(x\in K\), calculer la taille de la classe d'équivalence de \(x\) pour \(\mathcal{R}\).
4. En regroupant le produit par classe d'équivalence, montrer le théorème.

Soit \(A\) un anneau.

1. Montrer que \(\mathrm{det}\) est un morphisme de groupe sur \(\mathcal{M}_2(\mathrm{A})\).
2. Soit \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})\), montrer que :

\[M \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{det}(M) = \pm 1\]

1. Dans un cas général. On note \(\mathrm{U}(A)\) l'ensemble des inversibles de \(A\). Soit \(M \in \mathcal{M}_2(\mathrm{A})\), montrer que, \[M \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{det}(M) \in \mathrm{U}(A)\]
2. Montrer que \(M \in \mathcal{M}_2 \mapsto \mathrm{det}(M) \in \mathrm{U}(A)\) est surjective.

Soit \(G\) un groupe, \(H\) un sous-groupe de G. Soit \(\sim\) la relation définie par, \[x\sim y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H\]

1. Montrer que \(\sim\) est une relation d'équivalence sur \(G\).
2. Quelles sont les classes d'équivalence de \(G/\sim\) ?
3. On fait maintenant l'hypothèse que pour tout \(x\in G\), \(xH = Hx\). On définit la loi interne sur \(G/\sim\) suivante, \((xH) \otimes (yH) = (xy)H\). Montrer que la loi est bien définie, à savoir que pour \(x,x' \in H\) si \(xH = x'H\), et \(y \in H\), on a \(xH \otimes yH = x'H \otimes yH\).
4. Montrer que \(G/\sim\) est un groupe muni de la loi \(\otimes\).
5. Pour tous \(g,h \in G\), on note \([g,h] = ghg^{-1}h^{-1}\). Montrer que \(D(G) = \{[g,h],\, g,h\in G\}\) est un groupe distingué de \(G\).
6. Montrer que \(G/D(G)\) est commutatif.

Soit \(K\) un corps de caractéristique fini différente de \(2\), de cardinal \(q\). On pose \[ K^{[2]} = \{x^2,\, x\in K\}, \] l'ensemble des carrés de \(K\).

1. Montrer que \(\mathrm{Card}(K^{[2]}) = \frac{q+1}{2}\).
2. Soit \(\alpha \in K^*\backslash K^{[2]}\). Montrer que l'application \(x \mapsto \alpha x\) induit une bijection de \(K^{*[2]}\) sur \(K^*\backslash K^[2]\).
3. Soient \(\alpha, \beta \in K^*\). Montrer que si \(\alpha\beta \in K^{[2]}\), alors \(\alpha \in K^{*[2]}\) ou \(\alpha,\beta \notin K^{*[2]}\).