Semaine 11

Soit \(p\) un nombre premier, montrer que \(p\) divise \[\sum_{k=1}^{p-1} k^{p-1}+1\]

1. Montrer que \(n^2+1\) est premier avec \(3\).
2. Montrer que \(n^2+2\) est premier avec \(5\) et \(7\).

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on note \(E_n = \{m \in \mathbb{N}^*,\ m\wedge n = 1\}\), l'ensemble des nombres premiers à \(n\). On pose alors, \[\varphi(n) \colon \begin{cases} \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* \\ n \mapsto \mathrm{Card}(E_n) \end{cases}\]

1. Calculer \(\varphi(1)\), \(\varphi(2)\), \(\varphi(8)\).
2. Calculer \(\varphi(p)\) pour un nombre premier \(p\). En déduire une caractérisation des nombres premiers à l'aide de \(\varphi\).
3. Calculer \(\varphi(p^k)\) pour tout nombre premier \(p\).

On admet que si \(m \wedge n = 1\), \(\varphi(mn) = \varphi(n)\varphi(m)\), on dit \(\varphi\) est multiplicative.

1. Montrer que si \(\displaystyle n = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i}\), \[ \varphi(n) = \prod_{i=1}^n \left(p^{\alpha_i-1}-1\right) \]

Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(3\).

1. Soit \(r\) un rationnel, montrer que \(r\) s'écrit d'une unique manière sous la forme \(p^k\frac{a}{b}\), où \(a\wedge b = 1\), \(p\) ne divisant ni \(a\), ni \(b\).

On définit \[w_p \begin{cases} \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup \{+\infty\} \\ q = \frac{p^ka}{b} \mapsto k \end{cases}\]

1. Montrer que \(w(xy) = w(x)w(y)\).
2. Montrer que \(w(x+y) \geqslant \min(w(x),w(y))\).

Soit \(m\), \(n\) et \(q\) trois entiers.

• Montrer que si \(m\) divise \(n\), alors \(q^m-1\) divise \(q^n-1\).

Réciproquement, supposons que \(q^m-1\) divise \(q^n-1\). On applique la division euclidienne de \(n\) par \(m\), \(m = nq + r\).

1. Montrer que \(p^m-1\) divise \(p^r-1\).
2. Conclure.

Trouver le chiffre des unités de \[23^{23^{23^{23}}}\]

Trouver toutes les fonctions \(f \colon \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*\) telles que pour tous \(x,y \in \mathbb{N}^*\), \[ 2f(x) + y \mid f(y) + 2x \]

Montrer que \(m \equiv 0 [a\wedge b]\), où \(m\) est un multiple de \(a+b\).

Soit \(q \geqslant 2\), \(d, m \in \mathbb{N}^*\), montrer que si \(d\) divise \(m\), alors \(q^d-1\) divise \(q^m - 1\).

Soit \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer le nombre couples d'entiers \((a,b) \in \mathbb{N}^2\), tels que \[ 2a + 3b = n \]