Semaine 10

Calculer des primitives des fonctions suivantes,

1. \(\displaystyle x \mapsto \frac{1}{\mathrm{Arcsin}(x) \sqrt{1-x^2}}\)
2. \(\displaystyle x \mapsto \frac{\sin(\ln(x))}{x}\)
3. \(\displaystyle x \mapsto \frac{e^x}{e^x + 2}\)

On pose pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n(x) \mathrm{d}x \] Calculer \(I_0\), \(I_1\). Trouver une relation de récurrence d'ordre 2.

On note \(\displaystyle \varphi : \begin{cases} \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}_+^*) &\to \mathbb{R} \\ f &\mapsto \int_a^b f \times \int_a^b \frac{1}{f} \end{cases}\). Montrer que \(\varphi\) est minorée et atteint sa borne inférieure.

Soit \(f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})\). Soient \(a < b\), deux réels
On note : \[ g : x \mapsto \int_a^b f(x+t) \cos(t) \mathrm{d}t \]

1. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(g'\).

1. Soit \(n\in\mathbb{N}\), calculer \(\displaystyle\int_0^1 x^{3n+1}\mathrm{d}x\).
2. En déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{3k+2}\)

Soit \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})\), montrer que : \[A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{det}(A) = \pm 1\]

Indication : On pourra se servir du fait que \(\mathrm{det}(A)\mathrm{det}(B) = \mathrm{det}(AB)\), et l'appliquer à \(A\) et \(A^{-1}\).

On pose pour tout \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(N(A) = \sqrt{\mathrm{tr}(A^TA)}\).

1. Montrer que \(N\) est bien définie (à savoir que \(\mathrm{tr}(A^TA)\) est positive).
2. Montrer que \(N(A) = 0 \Leftrightarrow A = 0\).
3. Montrer que \(N(A + B) \leqslant N(A) + N(B)\).

Une matrice nilpotente est-elle inversible ?

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Soit \(\omega = \exp\left(\frac{2i\pi}{n}\right)\). \[A = \left(\omega^{(k-1)(l-1)}\right)_{1\leqslant k, l \leqslant n}\]

1. Calculer \(A\overline{A}\).
2. Qu'en déduire sur \(A\) ?

Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On suppose que pour tout \(X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \[\mathrm{tr}(AX) = \mathrm{tr}(BX)\] Montrer que \(A = B\).

On note \(A\) la matrice \[\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\1&1\end{pmatrix}\]

1. Existe-t-il une matrice \(B\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) telle que \(AB = I_3\). Si oui la ou lesquelles ?
2. Existe-t-il une matrice \(C\in\mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})\) telle que \(CA = I_2\). Si oui la ou lesquelles ?

1. Montrer que \(I_n + E_{ij}\) est inversible, pour tous \(i,j \in [\![1,n]\!]\).
2. Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on suppose que pour tout \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), \(MA = AM\). Montrer que \(M = \lambda I_n\) pour un certain \(\lambda \in \mathbb{R}\).