Semaine 1

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), par \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n} \] Montrer que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est strictement croissante.

Calculer pour \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[ \sum_{k=0}^n k\ k! \]

On note \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie par, \[ \left\{ \begin{matrix} u_0 = 0 \quad\quad u_1 = 1 \\ \forall\ n\in\mathbb{N},\quad u_{n+2} = 5u_{n+1}-6u_n\end{matrix} \right.. \] Montrer que \(u_n = 3^n - 2^n\).

Calculer,

1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n |i-j|\)
2. \(\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \min (i, j)\)
3. \(\displaystyle \prod_{1\leqslant i \leqslant j \leqslant n} \exp(ij)\)

On pose pour tous \(n \in\mathbb{N},\ i\in[\![0,n]\!]\), \(\displaystyle B_i^n \colon t \mapsto \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-1}\) définie sur \([0,1]\).

1. Calculer \(\displaystyle\forall\ t \in [0,1],\, \sum_{i=0}^n \frac{i}{n} B_i^n(t)\).
2. Calculer \(\displaystyle\sum_{i=0}^n B_i^n(t)\).
3. Montrer que \(\displaystyle B_i^n(t) = (1-t) B_i^{n-1}(t) + t B_{i-1}^{n-1}(t)\).

Calculer pour \(k,N\in\mathbb{N}\) et \(k \leqslant N\), \[ \sum_{n=k}^N \binom{n}{k} \] Indication : On pourra penser à la formule de Pascal et à une simplification téléscopique.

1. Montrer que pour tout \(k \geqslant 2\), \(\displaystyle \frac{1}{k^3} \leqslant \frac{1}{2(k-1)} - \frac{1}{k} + \frac{1}{2(k+1)}\)
2. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} \leqslant \frac{5}{4}\)

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\)

1. Montrer que pour tout \((2+\sqrt{2})^n + (2-\sqrt{2})^n\) est un entier pair.
2. Montrer que par contre \((2+\sqrt{2})^n - (2-\sqrt{2})^n\) est irrationel.
3. En déduire que \((2+\sqrt{2})^n\) et \((2-\sqrt{2})^n\) sont irrationels.

À l'oral : Peut-on remplacer 2 par n'importe quel nombre premier ?

Soit \(x \in \mathbb{R}\) non nul. On suppose que \(x + \frac{1}{x} \in \mathbb{Z}\). Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \[ x^n + \frac{1}{x^n} \in \mathbb{Z} \] Indication : Calculer, \[ \left(1+\frac{1}{x}\right) \left(x^n + \frac{1}{x^n}\right) \]

Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \geqslant \frac{3n}{2n+1} \]